7 Punti  per un corretto Studio di funzione

Di seguito diamo alcune indicazioni pratiche per uno studio di funzione finalizzato alla rappresentazione finale del grafico.

Ci prefiggiamo quindi l'obiettivo di determinare l'insieme di tutti i punti del piano che godono della stessa proprietà y = f(x) e cioè di soddisfare la relazione analitica che esprime la variabile y in funzione della variabile x.

La curva piana che unisce tutti questi punti ci darà quello che chiameremo GRAFICO DELLA FUNZIONE.

1. DOMINIO O CAMPO DI ESISTENZA

Questo primo punto risponde di fatto ad una domanda molto semplice: " Quali sono i valori reali da attribuire alla variabile indipendente  x , affinché anche la variabile dipendente y abbia valori reali?

Sostanzialmente la determinazione del Dominio di una funzione è legato ad un problema esclusivamente di natura algebrica consistente nel rispetto delle definizioni stesse di entità algebriche reali.

Sinteticamente i problemi legati al dominio di una funzione sono riassumibili nei seguenti punti :

• discussione di esistenza del DENOMINATORE di una funzione FRATTA

• discussione di esistenza del RADICANDO (ARGOMENTO) di  una funzione RADICALE ad indice PARI

• discussione di esistenza dell'ARGOMENTO di una funzione LOGARITMICA

• discussione di esistenza della BASE di una funzione ESPONENZIALE

• discussione di esistenza dell' ARGOMENTO di una funzione GONIOMETRICA INVERSA

• discussione mediante un SISTEMA delle condizioni di cui sopra per funzioni COMPOSTE

2. STUDIO DELLE INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI

Dobbiamo premettere che tale punto non è assolutamente necessario per arrivare ad una rappresentazione grafica qualitativamente corretta. E ciò in considerazione del fatto che a volte possiamo incontrare delle equazioni algebricamente non risolvibili, ma affrontabili solo per via grafica.

Per determinare algebricamente le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani , risolveremo , qualora possibile ,  due sistemi di equazioni ciascuno composto dalla funzione stessa e dall'equazione dell'asse relativo.

3. STUDIO DEL SEGNO

Lo studio algebrico di questo punto , qualora sia possibile algebricamente (vedi sopra) , ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y ( che esprime il valore della funzione  ) , al variare della variabile indipendente  x . Tale studio diventa importante poiché ci consente di stabilire le parti di piano che interesseranno la nostra funzione e conseguentemente quelle da eliminare .

Per comodità ci sarà utile a tale scopo studiare, convenzionalmente, la positività della funzione e risolvendo di conseguenza la relativa disequazione.

y > 0 oppure f(x) >0

4. LIMITI

Lo studio dei limiti ci permette di conoscere il comportamento che assume una funzione in corrispondenza di punti in cui essa non è definita; ed  è per tale motivo che introduciamo il concetto di limite .

I limiti si studieranno agli estremi del campo Reale (+ oo e - oo) se il Dominio è espresso da tutto R, e nei punti esclusi dal Dominio stesso.

I limiti possono essere immediati ed in questo caso può essere utile questa tabella, oppure di forma indeterminata, in questo secondo caso consigliamo di scaricare gratuitamente la lezione sui limiti nella quale vengono spiegati i procedimenti da seguire.

5. CALCOLO DEGLI ASINTOTI

Gli asintoti sono delle rette a cui la funzione tende all'oo e se determinati e disegnati migliorano qualitativamente il grafico finale. Essi possono essere:

VERTICALI , ORIZZONTALI e OBLIQUI

Per la verifica della presenza degli asintoti vedi questo schema.

6. STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA

L'operazione consiste nel calcolo della derivata prima tramite l'applicazione delle formule e nello studio del segno della derivata prima.

Questo studio ci permetterà di conoscere gli intervalli di monotonia (crescenza e decrescenza) della funzione con la conseguente ed eventuale determinazione dei punti di minimo e massimo relativi.

Per l'applicazione delle formule delle derivate consigliamo di scaricare la Tabella delle derivate.

Generalmente dopo aver applicato correttamente le formule si studia il segno della derivata, è spesso opportuno eseguire alcuni calcoli algebrici per semplificare tale studio e ridurre la derivata con raccoglimento a fattor comune e/o minimo comune multiplo.

Dove la f '(x) >0  , la funzione risulterà crescente;

dove la f '(x) <0  , la funzione risulterà decrescente;

dove la f '(x) = 0  , la funzione potrà avere in quei punti dei probabili massimi o minimi relativi.

Per svolgere correttamente la risoluzione della disequazione sarà necessario sapere come affrontare una disequazione, puoi trovare trovare utili le lezioni gratuite del Corso di algebra di base che ti indicano i procedimenti corretti da seguire nel vari tipi di funzioni.

7. STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

Questo punto consiste nel calcolo della derivata della derivata prima, applicando nuovamente le formule di derivazione.

Sempre attraverso lo studio del segno questo ci permetterà di conoscere gli intervalli di concavità e/o convessità della funzione con la conseguente ed eventuale determinazione dei punti di flesso.