ANALISI MATEMATICA I

Il corso è strutturato in 25 lezioni di 2 ore  con frequenza bisettimanale. Durante il corso lo studente ha la possibilità di essere seguito individualmente negli orari di revisione. Allegata al corso una dispensa con tutti  gli argomenti trattati a lezione e relativi esercizi svolti e proposti .
Ad ogni studente saranno forniti inoltre esercizi specifici e personalizzati a seconda della propria commissione d'esame per una preparazione mirata.

Algebra di Base 

Cenni introduttivi sulla della teoria degli insiemi . I numeri Reali . Monomi e polinomi . M.C.D. e m.c.m tra monomi . Generalità su polinomi . Regola di Ruffini e del Resto . Scomposizione di polinomi in fattori . Nozioni sui radicali . Equazioni algebriche : equazioni di 1° grado ; equazioni di 2° grado ( formule risolutive ) ; equazioni fattoriali ; equazioni fratte . Scomposizioni in fattori del trinomio di secondo grado . Equazioni di grado superiore al secondo grado . Disequazioni razionali intere . Disequazioni frazionarie ( razionali ) . Sistemi di equazioni e disequazioni . Equazioni irrazionali . Il valore assoluto . Logaritmi e loro proprietà .Equazioni esponenziali e logaritmiche . Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni .

Elementi di trigonometria 

Funzioni goniometriche e relazioni tra esse .Valori delle funzioni goniometriche di alcuni archi particolari . Identità fondamentali . Identità ed equazioni goniometriche . La funzione senx .
La funzione cosx . La funzione tgx . Le funzioni inverse delle funzioni circolari : arcsenx , arccosx , arctgx . Le funzioni iperboliche: senhx , coshx , tghx .

Generalità sulle funzioni

Funzioni esplicite ed implicite . Funzioni crescenti, decrescenti , monotone , limitate ed illimitate .
Funzioni pari , dispari , periodiche .Funzioni inverse . Funzioni composte . L’algebra e lo studio delle funzioni . Funzione esponenziale e funzione logaritmica .

Insiemi di numeri reali 

Gli intervalli . Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme limitato di numeri reali . Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme non limitato di numeri reali . Intorno di un punto o numero di R . Punti di accumulazione . Punti interni , esterni e di frontiera . Insiemi aperti , insiemi chiusi.

Funzioni reali di una variabile reale

Estremi di una funzione . Funzioni monotone . Dominio e codominio di una funzione . Le intersezioni con gli assi cartesiani . Lo studio del segno di una funzione .

Limiti delle funzioni reali di una variabile reale 

Definizione di limite finito per una funzione in un punto . Limite sinistro e destro di una funzione in un punto. Definizione di limite infinito in un punto . Definizione del limite per una funzione all’infinito . Primi teoremi sui limiti . Operazioni sui limiti . Teorema dell’unicità del limite .
Teorema della permanenza del segno . Teorema del confronto ( dei due carabinieri ) .Limiti delle funzioni monotone . Limiti delle funzioni composte .

Funzioni reali continue di una variabile reale 

La nozione di continuità per le funzioni reali di una variabile reale . Continuità delle funzioni elementari . Continuità delle funzioni composte .Continuità delle funzioni inverse . Punti di discontinuità per una funzione . Calcolo di alcuni limiti fondamentali .

Derivate delle funzioni reali di una variabile reale 

Definizione di derivata . Significato geometrico della derivata .Derivate di alcune funzioni elementari . Regole di derivazione .

I teoremi fondamentali del calcolo differenziale per le funzioni 

Teorema di Rolle . Teorema di Lagrange o del valor medio . Corollari del teorema di Lagrange .
La formula di Taylor col termine complementare nella forma di Peano . Approssimazione della funzione f(x) mediante una funzione razionale intera . Regola di De l’Hospital . Massimi e minimi.
Relativi. Massimi e minimi relativi per le funzioni derivabili . Ricerca del massimo e minimo assoluto di una funzione continua . Convessità e concavità di una funzione reale di una variabile reale , in un punto e in un intervallo .Asintoti . Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale.

Infinitesimi ed infiniti . Differenziale 

Infinitesimi . Confronto di infinitesimi . Ordine di un infinitesimo . Infiniti e loro confronto . Differenziale . Significato geometrico del differenziale .